《数学课题结题报告（推荐四篇）》

数学课题结题报告（通用4篇）

数学课题结题报告 篇1

摘要：由于国家还没有出版幼儿教师数学培训教材，开发与研究适应幼儿园教育改革的培训教材势在必行。从课题结题报告的角度出发。阐述了问题的提出、研究的理论与事实依据、研究内容与问题、研究过程与方法、主要研究策略等观点。

关键词：幼儿教师 数学 培训 教材 开发

1问题的提出

一是完善幼儿教师培训体系。目前，国家还没有出版幼儿教师数学培训教材，多数地区幼儿教师数学培训教材使用全国统编的高校（或中师）学前教育专业教材，不能解决幼儿教师的实际问题。所以，本课题的研究在于探索幼儿教师新的培训教材体系，促进幼儿教师数学培训教学改革。教育部要求，幼儿师专既要培养高素质的未来幼儿教师，又要培训高能力的在职幼儿教师。所以，开展幼儿教师数学培训教材开发与研究.既能完善幼儿教师培训体系，又能促进高师数学教学改革；二是有利于高师增强为学前教育服务的意识。教育部要求高职高专实现“产学结合”、“校企合作”。对于高师学前教育专业来说，就是高校的教学与幼儿园实际相结合；三是有利于落实《幼儿园教育指导纲要（试行）》（简称（纲要》）。教育部在《纲要》中指出：“设有学前教育专业的高等师范院校和幼儿师范学校要认真、深入地学习《纲要》的精神，改革学前教育课程和师资培养方式，并主动配合教育行政部门做好贯彻落实《纲要》的宣传和培训工作”。所以，研究本课题正是落实《纲要》的体现。

2研究的理论与事实依据

第一，理论依据。主要理论依据是：《纲要》；M.瓦根舍因（M.Wagenschein）的范例学习理论；约翰·杜威（JohnDewey）的教育即生活，生活即发展的理论；陶行知的“生活即教育”，“教学做合一”的理论等。

第二，事实依据。在总结以往幼儿教师数学培训教材经验和教训基础上，着重分析了牡丹江市幼儿教师数学培训的现状与问题，包括了解了大量的个体幼儿园教师，还关注了把素质教育作为切人，突出其实用性。

第三，人本主义心理学理论。培训工作要重视人的发展，应该是对完整的人性和人格的建构。数学培训的目的不仅在于促进幼儿教师知识和技能的提高，更要培养教师的健康心理和健全的人格。幼儿教师的数学学习活动，通过数学观念的恰当构建，提高对世界的认识和解读能力，通过数学方法与技能的有效把握，培养改造世界的能力，进而形成正确的人生观、世界观和科学的方法论。

第四，建构主义心理学基础。真正的数学学习不是对外部所授予知识的简单接受和积累，而是学员以已有的知识和经验为基础的主动建构活动。数学培训教材强调对被动式学习的超越，强调学员是学习的主人为前提，以民主、宽松、和谐的学习氛围为条件，以发挥学员的主动性和积极性为特征，以发展学员的自主性、能动性和创造性为目的，学员通过在对数学学习过程中的主动参与，在赋予知识的同时，培养自主意识、自主习惯和自主能力。

3研究的内容与问题

第一，研究的主要内容。从学员实际出发，有利于学员发展的实际，促进学员教育理念和价值观念的更新。本课题研究的创新之处在于突出实用性，着重培养学员分析问题能力和解决问题的能力，使他们拓展数学思想方法。

第二，解决的主要问题。全面剖析数学培训教材的编写特点，努力追求教学设计与教学实践的和谐统一；了解幼儿教师、家庭和社会对教材编写的需求，使教材编写El趋完善。

4研究的过程与方法

4.l主要研究方法。

4.1.1文献法。通过对文献资料的查阅与学习，了解研究前沿的最新动态，提升学员教育教学的理论素养，提高课题研究的针对性与实效眭。

4.1.2比较法。以三年制高师教材与中师教材为依托，编写新型培训教材。

4.1.3实验法。对学生的有关情况进行分析、问卷、数据统计对教材试用后进行反馈与分析，再与第一次数据进行比较。确定两个实验班，分别采用新、旧教材进行教学对比实验。

4.1.4问卷法。对学生进行有关学习状况、学习动机、学习适应性等方面问卷调查。

4.1.5调查法。深入幼儿园，反馈职后培训中存在的问题。

4.1.6统计法。通过对各种研究数据进行处理，为课题研究提供决策依据。

4.1.7行动研究法。在研究中采取互动研究的方式，让“教研”与“科研”有机结合，提高研究的效益。

4.1.8经验总结法。及时总结成功、失败的经验与教训，不断对研究进行反思，及时调整研究思路，保证研究有序有效的开展。

4.2课题研究的过程。

4.2.1设计方案，宣传发动。分析学员数学培训的整体状况，制定实施计划，提出具体的研究方向与方法。

4.2.2建立组织确保落实。组建课题领导小组，保证课题研究工作落实到人，使每个教师都置于网络的管理中。形成例会度，定期交流课题研究情况，对研究过程出现的问题及时调控。

4.2.3加强培训，提高素质。要求全体实验教师，树立先进的教育理念，掌握教育研究方法，并进行专题培训，提高课题研究人员的素质。

4.2.4及时反馈，修订不足。经过一段实验后组织实验班学员座谈、反馈信息，针对学员提出的问题，对教材加以修订，如内容上又将难度降低对难度大的例题、习题、练习题进行删减，增加一些与幼儿园有关的题目。

5主要研究策略

第一，以人格本位。所谓人格本位，就是以人为中心，充分尊重学员的个性差异，从培养学员人格素质的高度出发。即一切从学员的情感、爱好心理素质、价值观念需要出发，一切以学员的个性发展，能力的培养为着眼点。把他们培养成具有健全的心智，知识和能力综合发展的幼儿教师。

第二，注重社会功用性。幼儿教师要实现社会化，必须力加强与社会的联系。所以，培训要适应社会的需要，数学培训教材的开发，要关注社会的发展。教师应走出教室，走向幼儿园，走向社会，及时了解当前及今后一段时间内社会经济的发展的特点和方向，为数学培训注入新鲜的时代气息。

第三，注重幼儿园教育的特点。数学教材不仅表现在为学员提供必要的数学知识，数学理念，数学思维，更重要的在于服务幼儿园。《纲要》要求：“引导幼儿对周围环境中的数、量、形、时间和空间等现象产生兴趣，建构初步的数概念，并学习用简单的数学方法解决生活和游戏中某些简单的问题”。因此，数学培训教材的开发，除了培养学员一些基本的原则性的数学及能力外，还有计划、有针对性的增加一些可供选择的幼儿园的知识内容。如“数的概念”、“集合概念”、“空间和几何图形概念”、“量的概念”，幼儿园中的教学实例。还要选择一些知识性、趣味性的故事，供学员阅读拓宽视野。

6研究成果

第一，教师的素质提高了。通过数学培训教材的开发，促进了教师专业的成长，教师对案例的分析加强了，对问题原因的解剖深人了，对教材整合的能力拓展了。

第二，教材内容更新了。在素材的选择上联系学生的实际水平案材尽可能地接近学生真实的生活情景及幼儿园中的教学实例。

第三，校本文化得到凸显。数学是^类悠久的文化的体现，着力挖掘数学的文化底蕴，展现数学文化的魅力，发挥数学文化在培养人文精神方面的作用，是培训教材赋予数学教师的职责。在数学培训教材的编排中，每个章节都增加了相应的数学文化内容，让学生通过阅读提高数学文化修养。把校本文化建设放在重要的位置，努力创设属于自己的积极向上的校本文化，尤其在幼儿园数学教育中，进行数学文化教育。使学员在数学学习的过程中，真正受到数学文化的感染，产生文化的共鸣，体现数学的文化品味，体察社会文化和数学文化之间的互动。

虽然研究工作取得了预期的成果，教材建设有了突破性进展，但还存在着一些问题，如教材中涉及幼儿园数学实例还不充实，评价体系不够完善等等。

数学课题结题报告 篇2

一、课题研究的现实背景

我们学校处在经济欠发达的边远山区，学生的家长大多都外出打工，“留守儿童”非常多。父母为了工作，没时间监督和管理孩子；贪玩是孩子的天性，他们缺乏自觉性；如此的种种原因，导致学生的学习成绩落后。面对这样的社会现实，作为老师，我认为最重要的是培养孩子的自学能力，让学生学会自学。只有提高了孩子的自学能力，引导孩子主动学习，才能限度地提高学校教学质量。

当今科学技术突飞猛进，知识不断增长，知识陈旧率不断提高。培养学生的自学能力，让学生自己掌握开启知识宝库的“金钥匙”，是现阶段各学校教学中的一个十分重要的问题。学生在学校学到的知识，根本满足不了未来的需要。联合国教科文组织埃德加﹒富尔说：“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”因此，要努力培养学生的自学能力。而培养课前自学习惯，是提高学生数学自学能力的最重要、最有效的途径之一。

当前，有很多教师不注意数学课的课前自学，还没有体会到课前自学的真正意义，根本没有有安排学生去自学的概念。这样势必影响课堂教学效率的提高，影响学生自我素质的不断完善，影响学生自学习惯的养成及自学能力的提高。

《数学课程标准》指出，让学生学习有价值的数学，让学生带着问题、带着自己的思想自己的思维进入数学课堂，对于学生的数学学习有着重要的作用。可能有许多老师认为小学生课前自学并不重要，等上了初中再去自学也不晚。其实不然，任何良好习惯的养成都要从小开始抓起，因为“良好的开端就是成功的一半”。翻读一下科学文化界的名人传略，大家就会明白，他们所建造的科学文化大厦的根基都无一例外地坐落在小学时养成的自学习惯上，良好的课前自学习惯，可使学生终生受益。

为此，我确定了以“农村小学中年级学生数学课前自学能力培养的研究”作为实验课题。

二、理论依据

1、生活教育理论

教育家卢梭认为：教学应让学生从生活中，从各种活动中进行学习，反对让儿童被动地接受成人的说教或单纯地从书本上进行学习，他认为教师的职责不在于教给儿童各种知识和灌输各种观念，而在于引导学生直接从外界事物和周围环境中学习，同学生的生活实际相结合，从而使他们获得有用的数学。

我国教育家陶行知先生指出：“生活既教育”、“教学做合一”、“为生活而教育”。他认为生活是教育的中心。

2、建构主义理论

皮亚杰的知识建构理论指出，学生是在自己的生活经验基础上，在主动的活动中建构自己的知识。也就是说，学习不是简单知识由外到内的转移和传递，而是学习者主动地建构自己的知识经验的过程，即通过新经验与原有生活知识经验的相互作用，来充实、丰富和改造自己的知识经验。

3、情境主义的学习理论

在教育心理学的历史中，有关学习的理论经历了三个转变，即从行为主义到认知主义到情境主义的转变。情境主义主张按照社会情境、生活情境、科学研究探索活动改造学校教育，使学生在真实或逼真的活动中发展解决实际问题的能力。在情境主义学习理论指导下的教学活动，不仅能促进有意义学习，而且有助于知识向真实生活情景的迁移。

三、课题的界定

农村：学生家长素质普遍较低，培养学生的意识不够强，家庭经济条件较差；学生学习氛围不够浓厚，学习欲 望不够强烈。

中年级学生：包括三、四年级的学生，他们正处于生长发育的萌芽阶段，生理、心理都在不断的酝酿而走向成熟，有了自己的想法和理想，一个人一旦有理想和想法他就又会产生叛逆心理。

数学课前自学：顾名思义就是学生在数学课前的自学。数学课前自学能力，是以数学思维能力为核心的多方面、多因素的一种综合能力，它主要包括学生独立获取知识的能力，系统掌握数学知识的能力，科学地应用所学的数学知识解决实际问题的能力。

四、课题研究的目标

1、本课题研究的目标旨在“让学生养成数学课前自学的习惯，培养数学课前自学能力，主动参与知识建立起来的过程”，努力挖掘学生的潜能，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强应用数学的意识，体会学习数学的价值，使不同的学生在数学上得到不同的发展。达到锻炼人、完善人的目的，为推进数学教学实施素质教育，为培养创新人才奠定基础。达到无师也能自通的境界，培养一批会学习的人才。

2、通过探索与研究，使本校教师能以学生的发展为本组织教学，真正把学生放在学习主人的地位，依据教育教学规律进行教学活动。

五、研究方法

本实验采取行动研究与实验研究相结合的教育科研方法，注重各种方法的相互协调与对比，采用问卷法，访问法，经验总结法，个案法，反馈法等各种实验法，开展形式多样的训练实践活动。

六、课题研究的内容

（一）数学课前自学的意义

课前自学是指教师在上课之前就针对不同学习材料或课型提出不同的课前预习要求，使学生为课堂学习做好准备。课前自学可帮助激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。在课前自学时学生对上课内容提前进行思考，甚至收集相关信息，将有利于提高他们的自主学习能力，扩大他们的知识面，提高他们收集信息以及处理信息的能力。

（二）课前自学对小学生学习数学的意义

课前自学是学习过程中的一个重要的环节，是课堂学习的基础，是提高学习效率的前提之一。数学课前自学是指在老师讲课之前，学生自学新课内容，做到初步理解，并做好上课的知识准备的过程。有效的课前自学，能提高学生学习新知的目的性和针对性，也能提高课上听讲的效率，改变被动学习的局面；同时也是培养自学习惯，提高学生自学能力，让学生学会学习的一个重要途径。因为数学知识是连续的、不间断的，新旧数学知识之间有着密切的联系，这些联系能帮助学生沟通数学与生活常识的联系，使他们能用数学的眼光和思维方法去观察、理解、解答生活中的数学问题，提高解决问题的能力，沟通数学与生活的联系。这些特点决定了数学学习是要建立在学生已有知识和经验的基础上进行的，可见课前自学是必不可少的。

（三）培养学生数学课前自学能力的方法

培养小学生的数学课前自学能力不能急于求成，要遵循循序渐进的原则。特别是在农村小学数学教学中，在初始阶段以指导学生课前自学方法和培养学生课前自学习惯为主要切入点，逐步培养学生良好的习惯。

1、通读数学内容，动手画、圈知识要点，了解主要内容。

对于概念性的知识，他们把自己认为重要的概念、结论划一划、圈一圈，使得新课中的主要内容显现出来，为理解和掌握知识做准备。例如预习《圆的初步认识》时，学生就把关键词划起来、把重点词圈起来：先在纸上确定一点作为圆心（打上×），把圆规的两只脚分开，使两脚之间的长度为r，再把有针尖的一只脚固定在圆心上，把另一只装有铅笔的脚绕圆心旋转一周，就画出了一个圆。通过预习，学生已经基本了解了画圆的过程。

2、巧用课前自学方式，理解主要数学知识。

这是课前自学的主要环节。学生在对数学知识有了一定的了解后，就要指导学生怎样“消化”这些知识。

（1）列举身边熟悉的事例来理解概念。数学概念并不是无中生有，而是从具体的例子中抽象出来的。让学生举一些具体的例子来说明概念，可以帮助学生形象理解概念。例如对“约数和倍数”的理解，课本上只有一句话：“如果整数a能被整数b整除，就a叫做b的倍数，就b叫做a的约数。”学生就可以举出这样的例子：6能被2整除，6就是2的倍数，2就是6的约数；15能被5整除，10就是5的倍数，5就是10的约数等。表面上看，是把抽象的概念具体化。实际上学生是在用具体的例子理解概念。当量达到了一定的标准就会有质的飞跃。

（2）动手实践来感受数学。《课标》指出：“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程”，“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。学生在课前自学时，也应该指导学生动手实践来理解数学知识。例如《圆的初步认识》中对“圆心”、“半径”的预习，我带领学生到操场，给他们绳子和细木棒等，让他们自己想办法画圆，让他们感知什么是圆心、确定圆心的意义，以及绳子的长短与所画成的圆之间有什么关系，通过画一画、做一做，让他们在活动的过程中，不仅很自然的理解和掌握了数学知识，而且对数学学习产生了浓厚的兴趣，激发了求知欲。

（3）大胆尝试解答例题来思考问题。在小学数学课本中有相当一部分内容的设计是以解答数学问题的形式出现的。如果不指导学生怎样自学这样的内容，就很有可能造成学生读完题后看答案的想象。学生在似懂非懂的情况下不劳而获，不利于学生学习能力和习惯的发展。教师可以指导学生碰到这样的内容，先将课本上的解答方法用纸盖住，自己尝试审题、解答。解答后与课本上的方法对照，不会解答再看课本上的。这样学生通过了自己独立思考和自主探索的过程，就会加深对数学知识的理解。

（4）巧用对比来分析关系。在数学的学习中“对比”是很重要又经常用到的学习方法，在预习时也是如此。如预习《同分子分数比较大小》时，可以指导学生将它与同分母分数比较大小进行对比。再如预习《分数基本性质》时，可以指导学生将《商不变的性质》与它进行对比。使用对比不仅可以揭示两个新知识之间的关系，利于学生理解知识的外延和内涵及新知；还能揭示新旧知识之间的关系，有利于学生形成知识网络。

3、精读难点内容，思考、标注疑点，这是数学课前自学的重要一环。

对课前自学中遇到的疑难之处，要鼓励学生通过自己的思考和分析，努力去理解知识，发现问题才是课前自学的关键所在。“学起于思，思起于疑”。例如：在教“商不变的性质”时，有一位同学是这样进行标注的：在除法中，被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变。他的疑惑是为什么要“零除外”，如果不要这三个字，可以吗？在课堂里，针对自己的疑惑，他听课越发仔细了，因为有了问题，学生对新课的学习才有目标，也因为是有了目标的学习，才会达到事半功倍的效果。

数学课题结题报告 篇3

自从20__年底该微型课题申报以来，本人进行了大量的收集和学习有关文献资料，前后多次进行实践研究，对本研究课题作了较为广泛和深入的实践和探索，取得了初步成果，强化了个人的科研意识，提高了本人的科研素质。学生在学习过程中，他们的自主、合作、探究的学习能力已逐步加强，学生的自学习惯已经在逐步养成，学生已由学会逐步转向会学，他们的各种能力得到培养，个性得到张扬。通过实践研究，教学质量在持续提高，学生素质得到了显著的增强。

一、研究背景

小学数学课堂如果能够从课的一开始就抓住学生的注意力，调动学生学习的积极性，不但能起到画龙点睛，启迪思维的作用，更重要的是能激发学生强烈的学习兴趣和求知欲，充分发挥他们的主观能动作用，使其全身心地投入探索新知识之中。在平时的数学教学和听课活动中，我感觉一堂数学课的成功与否在很大程度上取决于新课的导入，凡是上课成功的教师无不把新课导入这个环节设计得非常精彩。于是，我开始思考如何“优化数学新课导入，提高课堂教学效率”这个问题，并于20__年12月立项研究。

二、研究思路

本课题研究的初衷是想通过收集一些新课导入的精典案例，进行理论分析，总结出一些规律性的东西，以新课导入理论为指导，借鉴他人精彩的新课导入案例，使自己的新课导入更优化，并以新课导入为起点，提高自己的教学艺术水平。在研究中运用比较研究法，收集一些优秀教师的新课导入案例，进行比较研究，从而撰写研究方面的心得、体会及论文。

三、研究过程

1、课题开题

自课题申报以来，本人无论是在平时的随堂听课中，出去学习培训中还是在自己的课堂教学中，都努力收集或运用一些较好的形式导入新课，并借助一些理论学习，不断的提升自身的理论水平，加强科研能力的培养。

2、课堂导入形式

我在课堂导入教学上进行一些尝试，根据教材体现的教学任务与内容、学生的年龄特征与心理需求，收集并设计出如下一些导入新课的方式。

（1）从游戏玩乐导入新课

（2）从生活情境导入新课

（3）从数学故事导入新课

（4）从实物直观导入新课

（5）从演示操作导入新课

（6）从设置悬念导入新课

（7）从数学竞赛导入新课

（8）从纠正错误导入新课

（9）从出示目标导入新课

四、研究成果

通过一年多的研究和调查，取得了一些成果。

1、课改展示。

近一年来，由于本人的研究，先后多次在校、镇上过示范课。

2、相关研究在如东微型课题网站发表。

（1）微型课题《优化数学课堂导入，提高课堂教学效率》申报表

（2）优化数学新课导入，提高课堂教学效率

（3）优化新课导入，提高教学效率

（4）优化新课导入，提高教学效率——参加“之路”有感

（5）优化数学新课导入，提高课堂教学效率

（6）浅谈数学新课的导入

（7）小学数学新课导入优劣对比

（8）小学数学新课导入存在的问题例谈

（9）一节家常课的开头和结尾

（10）《统计》一课的新课导入教学设计

（11）新课导入技巧

（12）新课导入系列研究资料

（13）实践活动导入设计

（14）导入新技巧

（15）新课导入技巧例谈

（16）新课导入误区

（17）导入新技巧

（18）新课导入技巧例谈

（19）新课导入误区

（20）如何上好数学复习课的导入

3、有相关获奖论文3篇。

五、存在的问题

1、由于本人能力有限，虽然在课题上有较大的精力投入，但收效不大。

2、对课题的认识还不够到位，缺乏科学系统的研究方法，以至课题研究不够深入。

3、课题在研究过程中没有专业人士的指点，课题的开展只是自己的一些个人见解。

在今后的教科研活动中，我将进一步加强理论学习和交流，不断提高自身的理论水平和实践能力，主动联系有关的教育专家，虚心向他们请教，如果有可能的话，尽可能争取邀请专家来我校面对面进行交流。另外，我将本着教科研服务于教学这一原则，实践上更加注重教科研工作的实效性，努力让教育科研活动尽快见到成效。今后我将继续努力开展课堂教学研究，克服目前遇到的因难，使课堂教学真正有效甚至是高效得到落实。

数学课题结题报告 篇4

摘要：数学反思能力是在数学反思活动过程中表现出来的一种稳定的个性心理特征。分析数学反思能力的基本含义、特征、发展特点以及与其他数学能力的关系是准确把握数学反思能力的实质，是提高学生数学反思能力的重要保证，对提高教学效益、推动数学课程改革也有重要的现实意义。

关键词：数学反思；数学反思能力；特征；关系

一、数学反思能力的基本含义

数学反思能力是在数学反思活动过程中表现出来的一种稳定的个性心理特征。从理论的高度思考与研究数学反思能力的本质及其相关问题，对数学教学与学习有着十分重要的作用与价值。由于数学反思能力与反思有着天然的联系，所以，我们先讨论反思的含义。反思的思想由来已久：我国古代就有“扪心自问”“吾日三省吾身”等经典说法；西方哲学史上从第一位哲学家泰勒斯，到苏格拉底、柏拉图、亚里士多德，再到笛卡儿、康德，都随时在自己的思想园地里检讨种种思想问题，在进行反思。在现实的教育研究与学术讨论中，反思也是一个高频词，但是人们对反思的含义却仁者见仁，智者见智，通常有以下几种见解。

（一）反思是一种心理活动

洛克在《人类理解论》中，谈到“反省”是对获得观念的心灵的返观自照。在这种返观自照中，心灵获得不同于感觉得来的观念的观念。洛克所说之“反省”（即我们所说的反思）是人们自觉地把心理活动作为活动对象的一种认识活动，是对思维的思维。反思的结果是得到不同于感觉得来的观念的观念，他强调的是观念的来源。这里把反思看成了一种“内省”的心理活动。

（二）反思是一种认识论方法

斯宾诺莎把自己的认识论方法称做“反思的知识”，而“反思的知识”，即“观念的观念”是认识所得的结果，它本身又是理智认识的对象。对于认识结果的观念的再认识和对于这种再认识之观念的再认识──这种理智向着认识深度的不断推进，即“反思”。他以既得观念为对象，通过不断反思抽象使既得观念不断升华形成新的认识。因而思维的结果是他“反思”的对象，获得新的观念是其反思的目的。

（三）反思是一种思维活动，有“思考”之意

杜威的反思是“对任何信念或假定的知识形式，根据支持它的基础和它趋于达到的进一步结论而进行的坚持不懈的和仔细的考虑”，它包括“这样的一种有意识和自愿的努力”，即在证据、理性和坚实基础上建立的信念。杜威所说的“考虑”即是一种反思思维活动。

（四）反思是一个过程

博伊德与费勒斯认为反思是“一个变化的理性观念的自我（与自我联系的自我和与世界联系的自我）澄清经验的意义的过程”。[1]博伊德和费勒斯的反思突出了“自我价值”，明确了反思的对象是“自我”，反思的目的是“澄清经验的意义”构建“自我”连续体，突出了反思的完整过程。

（五）反思是一种能力

伯莱克认为“反思是立足于自我之外的批判性地考察自己行动及情景的能力，它与思维的批判性是一致的”。

（六）反思是元认知

熊川武教授用“元认知”这个术语来代替反思这个概念。他指出，从元认知理论的角度来看，反思就是主体对自己的认知活动过程，以及活动过程中涉及的有关的事物（材料、信息、思维、结果等）的特征的反向思考，通过调节，控制自身的认知过程，以达到认知的目的。

尽管在不同时期和不同场合人们理解和应用反思的含义不同，但对反思所思考问题的角度以及反思的对象和反思的目的的认识是共同的。反思的对象是思维本身，而反思的目的是为了指导未来的思维活动。因此，我们认为从元认知的角度来研究数学反思和数学反思能力，能比较全面地透视数学反思及数学反思能力的本质。数学反思就是认知者对自身数学思维活动过程和结果的自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节；而数学反思能力就是在数学反思活动过程中反映出来的一种稳定的个性心理特征，是元认知在数学思维中发挥作用的基本形式。因此数学反思能力就是认知者在数学思维活动中对自己数学认知过程的自我意识、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节的能力。它是以反思的体验、反思的知识和反思的技能为基础，并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来的高层次思维活动，它对数学认知活动起指导、支配、决定、监控的作用。因此，数学反思能力中的核心就是进行数学反思。

二、数学反思的核心要素

通过分析数学反思的过程我们可以知道，数学反思的知识、技能与数学反思的内容是数学反思的核心要素。这些要素是在数学反思体验的基础上形成发展起来的。

（一）数学反思的知识

1.数学反思的陈述性知识：掌握有关数学反思过程中通常有哪些策略和技能可以应用，而且了解这些技能和策略的“长处”和“短处”以及在什么情况下应用比较合适的知识。2.数学反思的程序性知识：有关如何使用各种策略、技能进行数学反思的知识，即掌握各种策略和技能的操作方法。3.数学反思的情景性知识：它告诉人们应该在什么情景之中运用什么知识和技能，即时间、地点、环境（包括社会文化、人际关系等）以及为什么要采用这些知识和技能的知识。

（二）数学反思的技能

1.经验技能：认知主体借助于经验对认知过程、结果及相关事物的直觉的反思能力。

2.理论技能：认知主体以特定的理论为根据进行相对理性的反思能力。

3.分析技能：是理解解释描述认知过程、结果必需的，是指能够选择最优的策略，对数学思维活动进行科学分析的能力。

4.评价技能：主体根据不同的认知目的对认知过程及结果以及所采用的策略等进行价值判断的能力，即能够对分析的结果进行效能判断并正确归因的能力。

5.策略技能：能够恰当地应用各种策略进行反思的能力，即对反思中找出的问题设计改进的途径和方法的能力。

6.实践技能：能够将反思得到的结果付诸实践以达到调节和控制目的的能力。

其实，数学反思的知识与技能还需要动机、兴趣、毅力等因素的维持与推进。认知主体能在数学反思过程中长期坚持不懈地保持充沛的精力，并能坚韧顽强、不屈不挠地去克服困难、排除干扰、形成并完善自己的数学知识体系，是与这些因素息息相关的。

（三）数学反思的内容

1.从数学反思活动发生的时间来看

数学反思的主要作用是对数学思维活动的监察、评价、调控，因此它可以发生在数学思维活动的前、中、后：在数学思维活动之前，反思思维计划的合理性和有效性；在数学思维活动中反思思维的严密性、准确性、开放性等；在数学思维活动后，反思整个思维计划的执行结果，对得与失进行总结。其实，数学思维过程中随时都有诱发反思的因素，而数学思维过程中的反思是一种内隐的过程，无法从外表觉察，故只有采用口语报告法或事后回忆法方能体会到。因此数学思维活动前和中的反思一般很难引起注意，而对数学思维活动结束后的反思都比较重视，研究的也比较多，这是由于数学思维活动结束后，活动的结果已经很明显，问题也很容易暴露，而且事后回忆往往比较好操作。

2.从数学思维活动的过程来看

数学思维活动有三个要素：对象、过程、结果。因此数学反思也可以相应地分为对数学思维活动对象、过程和结果的反思。对数学思维活动对象的反思包括：对数学问题的问题特征进行反思，对数学问题所涉及的数学知识、思想方法的反思，对数学命题、数学语言以及与数学思维活动有联系的问题的反思。对数学思维活动过程的反思包括：对思考的过程、理解的过程、推理的过程、运算的过程、想象的过程（即解决问题过程）的反思。对数学思维活动结果的反思包括对解题思路的反思、对语言表述的反思以及对数学结论进行的反思。

3.从数学反思问题的性质来看

（1）经验性反思：旨在总结解决问题的经验，着重反思问题涉及了哪些知识，哪些能力。

（2）概括性反思：旨在对同一类数学问题的解法进行筛选、概括，形成一种解题思路，进而上升为一种数学思想。

（3）创造性反思：对数学问题的重新认识，以及推广、引申和发展。

（4）错误性反思：注重对解答问题的失误的纠正、辨析，从而找到产生问题的根源。如果对整个数学反思的过程作一剖析，反思的内容可概括为以下三部分：

第一，对数学问题解决过程中所使用的各种数学技能或技术的有效性进行反思；第二，对数学问题解决过程中所使用的学习策略的合理性进行反思；

第三，对数学思维活动的目标以及思维活动的动力──非智力因素进行反思。

前面所谈的反思的大部分内容都可归入经验性反思中去，而（2）（3）是更深层次的反思，是给数学思维活动提供持久的动力和更高的有效性的反思。

三、数学反思能力的基本特征

（一）强烈的问题意识

数学反思能力使认知者在数学思维过程中有了心理上的一道“警戒线”，使得主体对“问题”的出现有一种敏感性，能主动地去监视思维过程，收集有关信息，一旦可疑即进入反思的状态，这是他们主动关心思维的目的与结果以及解题技能技巧的有效性而形成的直觉的自我觉察意识。

（二）高度的责任心

数学反思能力表现为反思者对自己学习和前途高度负责的精神，因而能够意识到问题的存在，能够以更高的标准检查思维活动过程中的得与失，能够纵横比较地分析与思考思维过程中的一些现象，正确地评估思维中出现的一些问题，主动地调节认知过程，支配数学思维的发展方向。

（三）执著的精神

数学知识的高度抽象性和数学问题的复杂性使得在数学思维的过程中更易产生困难，并且更深层次的反思在某种程度上也是一种自我否定的过程，是一种诱发痛苦的行为，有时会动摇其信念、改变其态度、削弱其意志以及影响其价值观，因而较高水平的数学反思者有忍受挫折、克服困难、长时间反思的执著的精神和坚强的毅力，能够为进行反思的思维活动提供不竭的动力。

（四）更大的开放性和灵活性

思维的开放性和灵活性主要表现在：1.更易接纳新信息，对思维过程产生的信息敏感并能及时吸收，在制订改进措施时能够听取别人的建议；2.对现成的结论如课本知识及别人的建议持有一种“健康”的怀疑，不机械地接受、盲从或拒绝，而会根据自己的经验进行分析比较，有选择性地吸收；3.能够恰当地评价自己，对自己的缺点能够正确地进行估计并能采取积极有效的措施。

（五）深刻的探究性

多方面多角度对数学问题进行探索和研究，对收集的各种改进方案进行评价、估计，按反思的结果去行动，有选择地进行最优处理，而不满足于一般性地解决。

（六）良好的数学思维品质和认知结构

数学反思能力水平较高者，由于对思维过程有很强的觉察、调节、控制能力，因而表现出良好的具有批判性、深刻性、广阔性的数学思维品质和坚强的意志力，从而对学习产生更高的期望、更高的坚持性和更多的投入，最终成为一个自律性的终身学习者。[3]

四、数学反思能力发展的一般特点

数学反思能力的发展与数学思维水平有关。初中生和高中生的数学思维水平是有区别的，尽管初中生开始能够有意识地调节、支配、检查和分析自己的思维过程，在学习上和生活上有更大的独立性和自觉性，但批判性还是不够的，容易产生片面性和表面性；在运算过程中虽能自觉地检查和发现错误并进行纠正，但是不善于寻找错误的原因，也不能及时地调整解题步骤和方法；运算的正确率较高，但不能正确地选取一些结论和有用条件；在推理过程中虽能占用数学材料，但推理的目的性不强。在正常情况下，高中生思维的批判性比较强：他们在考虑问题时，不肯盲从，喜欢探求事物表面现象的根本原因；他们在提出争论的观点时，往往要求自己给出具有一定说服力的逻辑论证。但是对高中生而言，反思的意识仍然不强，反思的技能不高，反思的方法欠缺，使得他们对一些问题的理解带有片面性和主观性，容易产生死抠教条的毛病。由于反思能力属于认知活动的一种监控能力，它的发展受到许多因素的制约，所以发展得较晚。林崇德教授研究表明，从初中二年级开始，学生的抽象逻辑思维由经验型水平向理论型水平转化，直到高中二年级，这种转化才初步形成。[4]这个转化过程是离不开反思思维的，因为抽象逻辑思维本身就是一种反思的思维。学生只有在对抽象概括的数学材料学习过程中不断地反思自己的思维过程，调整思维方法，纠正思考错误，才能顺利实现这一过程，而在这一过程中反思的能力也就逐渐地成熟起来了。学生的反思能力的发展主要经历以下几个发展阶段。

1.日常反思阶段：是指认知主体对认知活动无意识地监控、调节，反思的目的性极弱的阶段。

2.被动反思阶段：是指认知主体对认知活动中出现的困惑问题被迫进行反思的阶段。

3.主动反思阶段：是指认知主体对认知活动主动地有意识地监控、调节的阶段。